Beweis Für Tiefe Verbindung Zwischen Primzahlen Beansprucht

2023 Autor: Peter Bradberry | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-07-27 17:19

Wenn dies zutrifft, wäre eine Lösung der "abc" -Vermutung über ganze Zahlen "eine der erstaunlichsten Errungenschaften der Mathematik des 21. Jahrhunderts".

Aus der Zeitschrift Nature.

Die normalerweise ruhige Welt der Mathematik ist voll von der Behauptung, dass eines der wichtigsten Probleme der Zahlentheorie gelöst wurde.

Der Mathematiker Shinichi Mochizuki von der Universität Kyoto in Japan hat einen 500-seitigen Beweis der ABC-Vermutung veröffentlicht, der eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen vorschlägt - ein "diophantinisches" Problem.

Die abc-Vermutung, die 1985 unabhängig von David Masser und Joseph Oesterle vorgeschlagen wurde, ist der Welt vielleicht nicht so vertraut wie Fermats letzter Satz, aber in gewisser Weise bedeutender. "Die ABC-Vermutung löst, wenn sie sich als wahr herausstellt, auf einen Schlag viele berühmte diophantinische Probleme, einschließlich des letzten Satzes von Fermat", sagt Dorian Goldfeld, Mathematiker an der Columbia University in New York. "Wenn Mochizukis Beweis richtig ist, wird es eine der erstaunlichsten Errungenschaften der Mathematik des 21. Jahrhunderts sein."

Wie der Satz von Fermat bezieht sich die abc-Vermutung auf Gleichungen der Form a + b = c. Es handelt sich um das Konzept einer quadratfreien Zahl: eine Zahl, die nicht durch das Quadrat einer Zahl geteilt werden kann. Fünfzehn und 17 sind quadratische freie Zahlen, aber 16 und 18 - teilbar durch 4² und 3²jeweils - sind nicht.

Der 'quadratfreie' Teil einer Zahl n, sqp (n), ist die größte quadratfreie Zahl, die durch Multiplizieren der Faktoren von n, die Primzahlen sind, gebildet werden kann. Zum Beispiel ist sqp (18) = 2 × 3 = 6.

Wenn Sie das haben, sollten Sie die abc-Vermutung bekommen. Es handelt sich um eine Eigenschaft des Produkts der drei ganzen Zahlen a x b x c oder abc - oder genauer gesagt des quadratfreien Teils dieses Produkts, die ihre unterschiedlichen Primfaktoren beinhaltet. Es heißt, dass für ganze Zahlen a + b = c das Verhältnis von sqp (abc) ^r / c hat immer einen Mindestwert größer als Null für einen Wert von r größer als 1. Wenn beispielsweise a = 3 und b = 125, so dass c = 128, dann ist sqp (abc) = 30 und sqp (abc)²/ c = 900/128. In diesem Fall, in dem r = 2 ist, ist sqp (abc) ^r / c ist fast immer größer als 1 und immer größer als Null.

Tiefe Verbindung

Es stellt sich heraus, dass diese Vermutung viele andere diophantinische Probleme umfasst, einschließlich des letzten Satzes von Fermat (der besagt, dass a

+ b = c hat keine ganzzahligen Lösungen, wenn n> 2). Wie bei vielen diophantinischen Problemen dreht sich alles um die Beziehungen zwischen Primzahlen. Laut Brian Conrad von der Stanford University in Kalifornien „kodiert es eine tiefe Verbindung zwischen den Primfaktoren von a, b und a + b“.

Viele Mathematiker haben große Anstrengungen unternommen, um die Vermutung zu beweisen. 2007 behauptete der französische Mathematiker Lucien Szpiro, dessen Arbeit 1978 zu der Vermutung von abc führte, einen Beweis dafür zu haben, doch es stellte sich bald heraus, dass er fehlerhaft war.

Wie Szpiro und auch der britische Mathematiker Andrew Wiles, der 1994 Fermats letzten Satz bewies, hat Mochizuki das Problem mit der Theorie der elliptischen Kurven angegriffen - den glatten Kurven, die durch algebraische Beziehungen der Art y erzeugt werden ²= x ³+ Axt + b.

Dort hört jedoch das Verhältnis von Mochizukis Arbeit zu früheren Bemühungen auf. Er hat Techniken entwickelt, die nur sehr wenige andere Mathematiker vollständig verstehen und die neue mathematische „Objekte“aufrufen - abstrakte Entitäten analog zu bekannteren Beispielen wie geometrischen Objekten, Mengen, Permutationen, Topologien und Matrizen. "Zu diesem Zeitpunkt ist er wahrscheinlich der einzige, der alles weiß", sagt Goldfeld.

Conrad sagt, dass die Arbeit "eine große Anzahl von Erkenntnissen verwendet, deren Verdauung durch die Community lange dauern wird". Der Beweis ist auf vier lange Papiere verteilt^1–4, von denen jedes auf früheren langen Papieren beruht. „Es kann einen enormen Zeitaufwand erfordern, um einen langen und differenzierten Beweis zu verstehen. Die Bereitschaft anderer, dies zu tun, beruht also nicht nur auf der Bedeutung der Ankündigung, sondern auch auf der Erfolgsbilanz der Autoren“, erklärt Conrad.

Mochizukis Erfolgsbilanz macht die Mühe auf jeden Fall lohnenswert. "Er hat in der Vergangenheit extrem tiefe Theoreme bewiesen und ist sehr gründlich in seinem Schreiben, so dass viel Vertrauen entsteht", sagt Conrad. Und er fügt hinzu, dass die Auszahlung mehr als nur eine Überprüfung des Anspruchs wäre. "Der aufregende Aspekt ist nicht nur, dass die Vermutung jetzt gelöst worden sein könnte, sondern dass die Techniken und Einsichten, die er einführen musste, sehr leistungsfähige Werkzeuge zur Lösung zukünftiger Probleme in der Zahlentheorie sein sollten."